shimauma3sanのブログ

畳み込みの計算をFFTを使って効率よく（計算回数を減らす）計算する方法を説明します。　畳み込み(離散畳み込み）、フーリエ変換（離散フーリエ変換:DFT）、フーリエ逆変換（離散フーリエ逆変換：IDFT)は、知っているものとします。　（以降、フーリエ変換、フーリエ逆変換という言葉を使います。）　
　説明は、数式処理ソフト maxima での計算例で示します。( maxima はフリーソフトです。)

畳み込み、フーリエ変換の関係式の整理

$x_n, h_n, y_n$ のフーリエ変換を、それぞれ $X_k, H_k, Y_k$ とすると、フーリエ変換（左側）、フーリエ逆変換（右側）は次のようになる。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-j\frac{2\pi kn}N}　~~~ x_n = \frac{1}N\sum_{k=0}^{N-1}X_ke^{j\frac{2\pi kn}N} \tag{1} \\ H_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-j\frac{2\pi kn}N}　~~~ h_n = \frac{1}N\sum_{k=0}^{N-1}X_ke^{j\frac{2\pi kn}N} \tag{2} \\ Y_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-j\frac{2\pi kn}N}　~~~ y_n = \frac{1}N\sum_{k=0}^{N-1}X_ke^{j\frac{2\pi kn}N} \tag{3} \end{eqnarray} }$

$x_n$ が、フィルタ $h_n$ に入力された時の出力を $y_n$ とすると、 $y_n$ は、 $x_n$ と $h_n$ の畳み込みで表される。
${ \displaystyle \begin{eqnarray} y_n &= x_n * h_n \tag{4}\\ \end{eqnarray} }$
リアルタイムに(4)式の畳み込みを、効率よく（計算量を減らす）行える、フーリエ変換・逆変換を使う手法、重量保留法と重畳加算法を説明する。以下関係式を整理する。

(4) 式の両辺をフーリエ変換する。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{F} (y_n) &= \mathcal{F}(x_n * h_n) \tag{5} \\ \end{eqnarray} }$
畳み込みのフーリエ変換は、それぞれのフーリエ変換の積。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{F} (y_n) &= X_k H_k \tag{6}\\ \end{eqnarray} }$
(6)式の両辺をそれぞれ逆フーリエ変換する。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} y_n &= \mathcal{F}^{-1}(X_k H_k) \tag{7} \\ \end{eqnarray} }$

畳み込みをフーリエ変換、フーリエ逆変換を使って計算する

　次のような4点の入力系列 $x_n$ と、4点のフィルタ $h_n$ の畳み込みを行う。

　 $x_n = (x_0, x_1, x_2, x_3, 0, 0, 0, 0)$
　 $h_n = (h_0, h_1, h_2, h_3, 0, 0 ,0, 0)$

数式処理ソフト maxima で使う。maxima コードの説明をしよう。フーリエ変換フーリエ逆変換を使って、入力 $x_n$ とフィルタ $h_n$ の畳み込みを行う。 $x_n$ と $h_n$ は、それぞれ4点のデータで、残りはゼロ埋めをしている。入力4点とフィルタ4点のデータを畳み込むと7点のデータとなる。maxima では、それぞれ $x_n, h_n$ を定義して、それぞれをフーリエ変換する。それぞれのフーリエ変換の結果を掛算し( $H_k X_k$ )、その結果を逆フーリエ変換(7式)すると畳み込みが求まる。（maxima コードのコメント参照）

maxima コード

N : 8;
c : (2.0 * %pi / N)$;
ef(kn) := cos(c*kn) - %i * sin(c*kn)$;
F : matrix([ef(0), ef(0), ef(0), ef(0),  ef(0), ef(0), ef(0), ef(0)],
           [ef(0), ef(1), ef(2), ef(3),  ef(4), ef(5), ef(6), ef(7)],
           [ef(0), ef(2), ef(4), ef(6),  ef(8), ef(10), ef(12), ef(14)],
           [ef(0), ef(3), ef(6), ef(9),  ef(12), ef(15), ef(18), ef(21)],
           [ef(0), ef(4), ef(8), ef(12),  ef(16), ef(20), ef(24), ef(28)],
           [ef(0), ef(5), ef(10), ef(15),  ef(20), ef(25), ef(30), ef(35)],
           [ef(0), ef(6), ef(12), ef(18),  ef(24), ef(30), ef(36), ef(42)],
           [ef(0), ef(7), ef(14), ef(21),  ef(28), ef(35), ef(42), ef(49)] )$;
FF : trigsimp(F)$;

eg(kn) := cos(c*kn) + %i * sin(c*kn)$;
I : matrix([eg(0), eg(0), eg(0), eg(0),  eg(0), eg(0), eg(0), eg(0)],
           [eg(0), eg(1), eg(2), eg(3),  eg(4), eg(5), eg(6), eg(7)],
           [eg(0), eg(2), eg(4), eg(6),  eg(8), eg(10), eg(12), eg(14)],
           [eg(0), eg(3), eg(6), eg(9),  eg(12), eg(15), eg(18), eg(21)],
           [eg(0), eg(4), eg(8), eg(12),  eg(16), eg(20), eg(24), eg(28)],
           [eg(0), eg(5), eg(10), eg(15),  eg(20), eg(25), eg(30), eg(35)],
           [eg(0), eg(6), eg(12), eg(18),  eg(24), eg(30), eg(36), eg(42)],
           [eg(0), eg(7), eg(14), eg(21),  eg(28), eg(35), eg(42), eg(49)] )$;
II : trigsimp(I)$;

x : transpose(matrix([x0, x1, x2, x3,  0, 0, 0, 0]));   /* input x_n */

X : FF . x;                                             /* X = DFT(x) */

h : transpose(matrix([h0, h1, h2, h3,  0, 0, 0, 0]));   /* filter h_n */
H : FF.h;                                               /* H = DFT(h) */
Y : H*X;                                                /* Y = H*X  */
y : ratsimp(ratsimp((II.Y)/N));                         /* y = IDFT(Y) */

$y_n$ を、maxima は次のように出力する。

重畳保留法(overlap save method)

重畳保留法は、 $x_n$ を、4点づつ次のように取る。
　_ $x0_n = (~~0,~~0, ~~0, ~~0, ~~x_0, x_1, x_2, x_3)$
　_ $x1_n = (x_0, x_1, x_2, x_3,~x_4, x_5, x_6, x_7)$
　_ $x2_n = (x_4, x_5, x_6, x_7, ~x_8, x_9, x_{10}, x_{11})$
　_ $x3_n = (x_8, x_9, ......)$
$h_n$ は同じである。
　 $h_n = (h_0, h_1, h_2, h_3, 0, 0 ,0, 0)$
それぞれの_ $x_n$ のフーリエ変換と、 $h_n$ のフーリエ変換を掛け算する。　その結果の逆フーリエ変換を取り、それぞれの $y_n$ の index 4 から 7 までを取って並べたものが、畳み込みになっている。maxima コードと結果を示す。結果の黄色の部分を使い、その他は捨てる。

　maxima コード

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 19.05.7 ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
N : 8;
c : (2.0 * %pi / N)$;
ef(kn) := cos(c*kn) - %i * sin(c*kn)$;
F : matrix([ef(0), ef(0), ef(0), ef(0),  ef(0), ef(0), ef(0), ef(0)],
           [ef(0), ef(1), ef(2), ef(3),  ef(4), ef(5), ef(6), ef(7)],
           [ef(0), ef(2), ef(4), ef(6),  ef(8), ef(10), ef(12), ef(14)],
           [ef(0), ef(3), ef(6), ef(9),  ef(12), ef(15), ef(18), ef(21)],
           [ef(0), ef(4), ef(8), ef(12),  ef(16), ef(20), ef(24), ef(28)],
           [ef(0), ef(5), ef(10), ef(15),  ef(20), ef(25), ef(30), ef(35)],
           [ef(0), ef(6), ef(12), ef(18),  ef(24), ef(30), ef(36), ef(42)],
           [ef(0), ef(7), ef(14), ef(21),  ef(28), ef(35), ef(42), ef(49)] )$;
FF : trigsimp(F)$;

eg(kn) := cos(c*kn) + %i * sin(c*kn)$;
I : matrix([eg(0), eg(0), eg(0), eg(0),  eg(0), eg(0), eg(0), eg(0)],
           [eg(0), eg(1), eg(2), eg(3),  eg(4), eg(5), eg(6), eg(7)],
           [eg(0), eg(2), eg(4), eg(6),  eg(8), eg(10), eg(12), eg(14)],
           [eg(0), eg(3), eg(6), eg(9),  eg(12), eg(15), eg(18), eg(21)],
           [eg(0), eg(4), eg(8), eg(12),  eg(16), eg(20), eg(24), eg(28)],
           [eg(0), eg(5), eg(10), eg(15),  eg(20), eg(25), eg(30), eg(35)],
           [eg(0), eg(6), eg(12), eg(18),  eg(24), eg(30), eg(36), eg(42)],
           [eg(0), eg(7), eg(14), eg(21),  eg(28), eg(35), eg(42), eg(49)] )$;
II : trigsimp(I)$;

_x0 : transpose(matrix( [ 0,  0,   0,   0,   x0,  x1,  x2,  x3] )); /* input, a part of x_n */
_x1 : transpose(matrix( [x0, x1,  x2,  x3,   x4,  x5,  x6,  x7] ));
_x2 : transpose(matrix( [x4, x5,  x6,  x7,   x8,  x9, x10, x11] ));
_x3 : transpose(matrix( [x8, x9, x10, x11,  x12, x13, x14, x15] ));

X0 : FF._x0;                             /* X0 = DFT(_x0) */
X1 : FF._x1;
X2 : FF._x2;
X3 : FF._x3;

/****
x0_ : ratsimp(ratsimp(( II.X0 )/N));
x1_ : ratsimp(ratsimp(( II.X1 )/N));
x2_ : ratsimp(ratsimp(( II.X2 )/N));
x3_ : ratsimp(ratsimp(( II.X3 )/N));
*****/

_h : transpose(matrix( [h0, h1,h2, h3, 0, 0, 0, 0] ));  /* filter, a part of h_n */
H : FF._h;                           /* H = DFT(_h) */

/****
h_ : ratsimp(ratsimp((II.H)/N));
***/


Y0 : H*X0;                           /* Y0 = H * X0 */
Y1 : H*X1;
Y2 : H*X2;
Y3 : H*X3;


y0_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y0 )/N));  /* y0_ = IDFT(Y0) */
y1_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y1 )/N));
y2_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y2 )/N));
y3_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y3 )/N));



/* [wxMaxima: input   end   ] */



/* Old versions of Maxima abort on loading files that end in a comment. */
"Created with wxMaxima 19.05.7"$

maxima 出力

重畳保留法でフィルタ系列をブロックに分割する方法(overlap save method for split block processing)

$x_n$ と $h_n$ を次のように取る。この方法では、 $h_n$ も分割する。
　_ $x0_n = (~~0,~~0, ~~0, ~~0, ~~x_0, x_1, x_2, x_3)$
　_ $x1_n = (x_0, x_1, x_2, x_3,~x_4, x_5, x_6, x_7)$
　_ $x2_n = (x_4, x_5, x_6, x_7, ~x_8, x_9, x_{10}, x_{11})$
　_ $x3_n = (x_8, x_9, ......)$

　_ $h0_n = (h_0, h_1, ~0, ~0, ~~0, ~0, ~0, ~0, ~0)$
　_ $h1_n = (h_2, h_3, ~0, ~0, ~~0, ~0, ~0, ~0, ~0)$

結果は、maxima 出力と、その次の図をみてほしい。

maxima コード

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 19.05.7 ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
N : 8;
c : (2.0 * %pi / N)$;
ef(kn) := cos(c*kn) - %i * sin(c*kn)$;
F : matrix([ef(0), ef(0), ef(0), ef(0),  ef(0), ef(0), ef(0), ef(0)],
           [ef(0), ef(1), ef(2), ef(3),  ef(4), ef(5), ef(6), ef(7)],
           [ef(0), ef(2), ef(4), ef(6),  ef(8), ef(10), ef(12), ef(14)],
           [ef(0), ef(3), ef(6), ef(9),  ef(12), ef(15), ef(18), ef(21)],
           [ef(0), ef(4), ef(8), ef(12),  ef(16), ef(20), ef(24), ef(28)],
           [ef(0), ef(5), ef(10), ef(15),  ef(20), ef(25), ef(30), ef(35)],
           [ef(0), ef(6), ef(12), ef(18),  ef(24), ef(30), ef(36), ef(42)],
           [ef(0), ef(7), ef(14), ef(21),  ef(28), ef(35), ef(42), ef(49)] )$;
FF : trigsimp(F)$;

eg(kn) := cos(c*kn) + %i * sin(c*kn)$;
I : matrix([eg(0), eg(0), eg(0), eg(0),  eg(0), eg(0), eg(0), eg(0)],
           [eg(0), eg(1), eg(2), eg(3),  eg(4), eg(5), eg(6), eg(7)],
           [eg(0), eg(2), eg(4), eg(6),  eg(8), eg(10), eg(12), eg(14)],
           [eg(0), eg(3), eg(6), eg(9),  eg(12), eg(15), eg(18), eg(21)],
           [eg(0), eg(4), eg(8), eg(12),  eg(16), eg(20), eg(24), eg(28)],
           [eg(0), eg(5), eg(10), eg(15),  eg(20), eg(25), eg(30), eg(35)],
           [eg(0), eg(6), eg(12), eg(18),  eg(24), eg(30), eg(36), eg(42)],
           [eg(0), eg(7), eg(14), eg(21),  eg(28), eg(35), eg(42), eg(49)] )$;
II : trigsimp(I)$;

_x0 : transpose(matrix( [ 0,  0,   0,   0,   x0,  x1,  x2,  x3] ));  /* input, a part of x_n */
_x1 : transpose(matrix( [x0, x1,  x2,  x3,   x4,  x5,  x6,  x7] ));
_x2 : transpose(matrix( [x4, x5,  x6,  x7,   x8,  x9, x10, x11] ));
_x3 : transpose(matrix( [x8, x9, x10, x11,  x12, x13, x14, x15] ));

X0 : FF._x0;                                             /* X0 = DFT(_x0) */
X1 : FF._x1;
X2 : FF._x2;
X3 : FF._x3;

/****
x0_ : ratsimp(ratsimp(( II.X0 )/N));
x1_ : ratsimp(ratsimp(( II.X1 )/N));
x2_ : ratsimp(ratsimp(( II.X2 )/N));
x3_ : ratsimp(ratsimp(( II.X3 )/N));
*****/

/* _h : transpose(matrix( [h0, h1,h2, h3, 0, 0, 0, 0] )); */
_h0 : transpose(matrix( [h0, h1,  0,  0,  0, 0, 0, 0] ));  /* filter, a part of h_n */
_h1 : transpose(matrix( [h2, h3,  0,  0,  0, 0, 0, 0] ));


H0 : FF._h0;                                                /* H0 = DFT(_h0) */
H1 : FF._h1;


/*****
h0_ : ratsimp(ratsimp((II.H0)/N));
h1_ : ratsimp(ratsimp((II.H1)/N));
*****/


Y00 : H0*X0;                                               /* Y00 = H0 * X0 */
Y01 : H1*X0;

Y10 : H0*X1;
Y11 : H1*X1;

Y20 : H0*X2;
Y21 : H1*X2;

Y30 : H0*X3;
Y31 : H1*X3;

y00_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y00 )/N));                      /* y00_ = IEFT(Y00) */ 
y01_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y01 )/N));
y10_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y10 )/N));
y11_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y11 )/N));
y20_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y20 )/N));
y21_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y21 )/N));
y30_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y30 )/N));
y31_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y31 )/N));



/* [wxMaxima: input   end   ] */



/* Old versions of Maxima abort on loading files that end in a comment. */
"Created with wxMaxima 19.05.7"$

maxima 出力

上記の結果を次のように加算する。　左の数字が $y_n$ の $n$ に対応する。 $y_3$ の場合は、その3行目を足せばよい。
（下の * は、掛け算を表す。)

	y00_           y01_            y10_           y11_         
	=============================================================
0	h0*x0
1	h0*x1 + h1*x0
2	h0*x2 + h1*x1  h2*x0
3	h0*x3 + h1*x2  h2*x1 + h3*x0
4	               h2*x2 + h3*x1   h0*x4 + h1*x3
5	               h2*x3 + h3*x2   h0*x5 + h1*x4
6	                               h0*x6 + h1*x5  h2*x4 + h3*x3
7	                               h0*x7 + h1*x6  h2*x5 + h3*x4
8	                                              h2*x6 + h3*x5  
9	                                              h2*x7 + h3*x6

重畳加算法(overlap add method)

重畳加算法は、 $x_n$ を次のように取る。
　_ $x0_n = (x_0, x_1, x_2, x_3, ~~0, ~0, ~0,~0)$
　_ $x1_n = (x_4, x_5, x_6, x_7, ~~0, ~0, ~0,~0)$
　_ $x2_n = (x_8, x_9, x_{10}, x_{11}, ~~0, ~0, ~0,~0)$
　_ $x4_n = (x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{15}, ~~0, ~0, ~0,~0)$
$h_n$ は、
　 $h_n = (h_0, h_1, h_2, h_3, 0, 0 ,0, 0)$
それぞれの_ $x_n$ のフーリエ変換と、 $h_n$ のフーリエ変換を掛け算する。　その結果の逆フーリエ変換を取り、隣の逆フーリエ変換の結果と加算する。maxima コードと maxima の計算結果と加算の図を次に示す。

maxima コード

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 19.05.7 ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
N : 8;
c : (2.0 * %pi / N)$;
ef(kn) := cos(c*kn) - %i * sin(c*kn)$;
F : matrix([ef(0), ef(0), ef(0), ef(0),  ef(0), ef(0), ef(0), ef(0)],
           [ef(0), ef(1), ef(2), ef(3),  ef(4), ef(5), ef(6), ef(7)],
           [ef(0), ef(2), ef(4), ef(6),  ef(8), ef(10), ef(12), ef(14)],
           [ef(0), ef(3), ef(6), ef(9),  ef(12), ef(15), ef(18), ef(21)],
           [ef(0), ef(4), ef(8), ef(12),  ef(16), ef(20), ef(24), ef(28)],
           [ef(0), ef(5), ef(10), ef(15),  ef(20), ef(25), ef(30), ef(35)],
           [ef(0), ef(6), ef(12), ef(18),  ef(24), ef(30), ef(36), ef(42)],
           [ef(0), ef(7), ef(14), ef(21),  ef(28), ef(35), ef(42), ef(49)] )$;
FF : trigsimp(F)$;

eg(kn) := cos(c*kn) + %i * sin(c*kn)$;
I : matrix([eg(0), eg(0), eg(0), eg(0),  eg(0), eg(0), eg(0), eg(0)],
           [eg(0), eg(1), eg(2), eg(3),  eg(4), eg(5), eg(6), eg(7)],
           [eg(0), eg(2), eg(4), eg(6),  eg(8), eg(10), eg(12), eg(14)],
           [eg(0), eg(3), eg(6), eg(9),  eg(12), eg(15), eg(18), eg(21)],
           [eg(0), eg(4), eg(8), eg(12),  eg(16), eg(20), eg(24), eg(28)],
           [eg(0), eg(5), eg(10), eg(15),  eg(20), eg(25), eg(30), eg(35)],
           [eg(0), eg(6), eg(12), eg(18),  eg(24), eg(30), eg(36), eg(42)],
           [eg(0), eg(7), eg(14), eg(21),  eg(28), eg(35), eg(42), eg(49)] )$;
II : trigsimp(I)$;

_x0 : transpose(matrix( [x0, x1, x2, x3,  0,0,0,0] ));    /* input, a part of x_n */
_x1 : transpose(matrix( [x4, x5, x6, x7,  0,0,0,0] ));
_x2 : transpose(matrix( [x8, x9, x10, x11, 0,0,0,0] ));
_x3 : transpose(matrix( [x12, x13, x14, x15, 0,0,0,0] ));

X0 : FF._x0;                              /* X0 = DFT(_x0) */
X1 : FF._x1;
X2 : FF._x2;
X3 : FF._x3;

/****
x0_ : ratsimp(ratsimp(( II.X0 )/N));
x1_ : ratsimp(ratsimp(( II.X1 )/N));
x2_ : ratsimp(ratsimp(( II.X2 )/N));
x3_ : ratsimp(ratsimp(( II.X3 )/N));
*****/

_h : transpose(matrix( [h0, h1,h2, h3, 0, 0, 0, 0] )); /* filter h_n */
H : FF._h;                                             /* H = DFT(h_n) */

/****
h_ : ratsimp(ratsimp((II.H)/N));
***/


Y0 : H*X0;                                              /* Y0 = H*X0 */
Y1 : H*X1;
Y2 : H*X2;
Y3 : H*X3;


y0_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y0 )/N));                    /* y0_ = IDFT(Y0) */
y1_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y1 )/N));
y2_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y2 )/N));
y3_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y3 )/N));



/* [wxMaxima: input   end   ] */



/* Old versions of Maxima abort on loading files that end in a comment. */
"Created with wxMaxima 19.05.7"$

maxima 出力

（下の * は、掛け算を表す。)

	y0_                            y1_                             y2_
	================================================================
0	h0*x0
1	h0*x1 + h1*x0
2	h0*x2 + h1*x1 + h2*x0
3	h0*x3 + h1*x2 + h2*x1 + h3*x0
4	h1*x3 + h2*x2 + h3*x1          h0*x4
5	h2*x3 + h3*x2                  h0*x5 + h1*x4
6	h3*x3                          h0*x6 + h1*x5 + h2*x4
7	0                              h0*x7 + h1*x6 + h2*x5 + h3*x4
8	                               h1*x7 + h2*x6 + h3*x5  
9	                               h2*x7 + h3*x6 
10	                               h3*x7                
11	                               0

重畳加算法でフィルタ系列をブロックに分割する方法
(overlap add method for split block processing)

$x_n$ を次のように分割する。
　_ $x0_n = (x_0, x_1, x_2, x_3, ~~0, ~0, ~0,~0)$
　_ $x1_n = (x_4, x_5, x_6, x_7, ~~0, ~0, ~0,~0)$
　_ $x2_n = (x_8, x_9, x_{10}, x_{11}, ~~0, ~0, ~0,~0)$
　_ $x4_n = (x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{15}, ~~0, ~0, ~0,~0)$
$h_n$ を次のように分割する。
　_ $h0_n = (h_0, h_1, ~0, ~0, ~~0, ~0, ~0, ~0)$
　_ $h1_n = (~~0,~~0, h_2, h_3, ~~0, ~0, ~0, ~0)$
それぞれの_ $x_n$ のフーリエ変換と、 $h_n$ のフーリエ変換を掛け算する。　その結果の逆フーリエ変換を取り、近くの逆フーリエ変換の結果と加算する。maxima コードと、maxima の計算結果と加算の図を次に示す。

maxima コード

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 19.05.7 ] */
/* [wxMaxima: input   start ] */
N : 8;
c : (2.0 * %pi / N)$;
ef(kn) := cos(c*kn) - %i * sin(c*kn)$;
F : matrix([ef(0), ef(0), ef(0), ef(0),  ef(0), ef(0), ef(0), ef(0)],
           [ef(0), ef(1), ef(2), ef(3),  ef(4), ef(5), ef(6), ef(7)],
           [ef(0), ef(2), ef(4), ef(6),  ef(8), ef(10), ef(12), ef(14)],
           [ef(0), ef(3), ef(6), ef(9),  ef(12), ef(15), ef(18), ef(21)],
           [ef(0), ef(4), ef(8), ef(12),  ef(16), ef(20), ef(24), ef(28)],
           [ef(0), ef(5), ef(10), ef(15),  ef(20), ef(25), ef(30), ef(35)],
           [ef(0), ef(6), ef(12), ef(18),  ef(24), ef(30), ef(36), ef(42)],
           [ef(0), ef(7), ef(14), ef(21),  ef(28), ef(35), ef(42), ef(49)] )$;
FF : trigsimp(F)$;

eg(kn) := cos(c*kn) + %i * sin(c*kn)$;
I : matrix([eg(0), eg(0), eg(0), eg(0),  eg(0), eg(0), eg(0), eg(0)],
           [eg(0), eg(1), eg(2), eg(3),  eg(4), eg(5), eg(6), eg(7)],
           [eg(0), eg(2), eg(4), eg(6),  eg(8), eg(10), eg(12), eg(14)],
           [eg(0), eg(3), eg(6), eg(9),  eg(12), eg(15), eg(18), eg(21)],
           [eg(0), eg(4), eg(8), eg(12),  eg(16), eg(20), eg(24), eg(28)],
           [eg(0), eg(5), eg(10), eg(15),  eg(20), eg(25), eg(30), eg(35)],
           [eg(0), eg(6), eg(12), eg(18),  eg(24), eg(30), eg(36), eg(42)],
           [eg(0), eg(7), eg(14), eg(21),  eg(28), eg(35), eg(42), eg(49)] )$;
II : trigsimp(I)$;

_x0 : transpose(matrix( [x0, x1, x2, x3,  0,0,0,0] ));  /* input, a part of x_n */
_x1 : transpose(matrix( [x4, x5, x6, x7,  0,0,0,0] ));
_x2 : transpose(matrix( [x8, x9, x10, x11, 0,0,0,0] ));
_x3 : transpose(matrix( [x12, x13, x14, x15, 0,0,0,0] ));

X0 : FF._x0;                                            /* X0 = DFT(_x0) */
X1 : FF._x1;
X2 : FF._x2;
X3 : FF._x3;

/****
x0_ : ratsimp(ratsimp(( II.X0 )/N));
x1_ : ratsimp(ratsimp(( II.X1 )/N));
x2_ : ratsimp(ratsimp(( II.X2 )/N));
x3_ : ratsimp(ratsimp(( II.X3 )/N));
*****/

/* _h : transpose(matrix( [h0, h1,h2, h3, 0, 0, 0, 0] )); */
_h0 : transpose(matrix( [h0, h1,  0,  0,  0, 0, 0, 0] ));  /* filter, a part of h_n */
_h1 : transpose(matrix( [ 0,  0, h2, h3,  0, 0, 0, 0] ));


H0 : FF._h0;                                               /* H0 = DFT(_h0) */
H1 : FF._h1;


/*****
h0_ : ratsimp(ratsimp((II.H0)/N));
h1_ : ratsimp(ratsimp((II.H1)/N));
*****/


Y00 : H0*X0;                                               /* Y00 = H0 * X0 */
Y01 : H1*X0;

Y10 : H0*X1;
Y11 : H1*X1;

Y20 : H0*X2;
Y21 : H1*X2;

Y30 : H0*X3;
Y31 : H1*X3;

y00_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y00 )/N));                     /* y00_ = IDFT(Y00) */ 
y01_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y01 )/N));
y10_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y10 )/N));
y11_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y11 )/N));
y20_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y20 )/N));
y21_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y21 )/N));
y30_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y30 )/N));
y31_ : ratsimp(ratsimp(( II.Y31 )/N));

maxima 出力

（下の * は、掛け算を表す。)

	y00_           y01_           y10_           y11_            y20_
	=================================================================
0	h0*x0          0
1	h0*x1 + h1*x0  0
2	h0*x2 + h1*x1  h2*x0
3	h0*x3 + h1*x2  h2*x1 + h3*x0
4	h1*x3          h2*x2 + h3*x1  h0*x4          0
5	0              h2*x3 + h3*x2  h0*x5 + h1*x4  0
6	0              h3*x3          h0*x6 + h1*x5  h2*x4
7	0              0              h0*x7 + h1*x6  h2*x5 + h3*x4
8	                              h1*x7          h2*x6 + h3*x5
9	                              0              h2*x7 + h3*x6
10	                              0              h3*x7           ??
11	                              0              0               ??

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